Question

若為集合且的子集，且滿足兩個(gè)條件：

①；

②對任意的，至少存在一個(gè)，使或.

則稱集合組具有性質(zhì).

如圖，作行列數(shù)表，定義數(shù)表中的第行第列的數(shù)為.

		…
		…
…	…	…	…
		…

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷下列兩個(gè)集合組是否具有性質(zhì)，如果是請畫出所對應(yīng)的表格，如果不是請說明理由；

集合組1：；

集合組2：.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若集合組具有性質(zhì)，請先畫出所對應(yīng)的行3列的一個(gè)數(shù)表，再依此表格分別寫出集合；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，集合組是具有性質(zhì)且所含集合個(gè)數(shù)最小的集合組，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的個(gè)數(shù)）

Answer 1

Ⅰ）解：集合組1具有性質(zhì).                                  ………………1分

所對應(yīng)的數(shù)表為：

……………3分

集合組2不具有性質(zhì).                                      ………………4分

因?yàn)榇嬖?sub>，

有，

與對任意的，都至少存在一個(gè)，有或矛盾，所以集合組不具有性質(zhì).    ………………5分

（Ⅱ）

                                                               ……………7分

.                 ………………8分

 （注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對應(yīng)的集合組也不同）

（Ⅲ）設(shè)所對應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表，

因?yàn)榧�合組為具有性質(zhì)的集合組，

所以集合組滿足條件①和②，

由條件①：，

可得對任意，都存在有，

所以，即第行不全為0，

所以由條件①可知數(shù)表中任意一行不全為0.                  ………………9分

由條件②知，對任意的，都至少存在一個(gè)，使或，所以一定是一個(gè)1一個(gè)0，即第行與第行的第列的兩個(gè)數(shù)一定不同.

所以由條件②可得數(shù)表中任意兩行不完全相同.              ………………10分

因?yàn)橛?sub>所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè)，去掉全是的元有序數(shù)組，共有個(gè)，又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同，所以，

所以.

又時(shí)，由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè)，去掉全是的數(shù)組，共個(gè)，選擇其中的個(gè)數(shù)組構(gòu)造行列數(shù)表，則數(shù)表對應(yīng)的集合組滿足條件①②，即具有性質(zhì).

所以.                                                 ………………12分

因?yàn)?sub>等于表格中數(shù)字1的個(gè)數(shù)，

所以，要使取得最小值，只需使表中1的個(gè)數(shù)盡可能少，

而時(shí)，在數(shù)表中，

的個(gè)數(shù)為的行最多行；

的個(gè)數(shù)為的行最多行；

的個(gè)數(shù)為的行最多行；

的個(gè)數(shù)為的行最多行；

因?yàn)樯鲜龉灿?sub>行，所以還有行各有個(gè)，

所以此時(shí)表格中最少有個(gè).

所以的最小值為.