Question

18．在△ABC中，BC=2，AC-AB=1，△ABC的面積為$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，BC=2，AC-AB=1，△ABC的面積為，由余弦定理的4=b²+c²-2bccosA…①
b²+c²-2bc=1…②，$\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$…③
由①②③得：cosA，sinA，bc

解答 解：在△ABC中，BC=2，AC-AB=1，△ABC的面積為，由余弦定理的4=b²+c²-2bccosA…①
b²+c²-2bc=1…②，$\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$…③
由①②③得：$\frac{1-cosA}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{4}$⇒tan$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$⇒cosA=$\frac{1-ta{n}^{2}\frac{A}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{A}{2}}=\frac{13}{19}$，sinA=$\frac{2tan\frac{A}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{A}{2}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{19}$，bc=$\frac{19}{4}$，∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=bc×cosA=$\frac{13}{4}$．
故答案為：$\frac{13}{4}$

點評 本題考查了解三角形的運算，及向量運算，屬于難題．