Question

已知函數(shù)f（x）=-cosx，g（x）=ax-π．
（Ⅰ）若函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）在x=時取得極值，求h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）證明：對任意的x∈R，都有|f′（x）|≤|x|；
（Ⅲ）若a=2，x₁=a（a），g（x_n+1）=，求證：＜π（n∈N^×）

Answer 1

【答案】分析：（I）先對函數(shù)h（x）=ax-π+cosx求導(dǎo)，由題意可得，可求a的值，然后分別令h′（x）＞0，h′（x）＜0，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（II）構(gòu)造函數(shù)F（x）=sinx-x，利用導(dǎo)數(shù)判斷F（x）的單調(diào)性，分別就x≥0，x＜0進行F（x）的取值范圍，從而證明．
（III）由g（x_n+1）=可得，由（II）可得，利用此結(jié)論根據(jù)遞推可證明．
解答：解：（I）h′（x）=a-sinx，函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）在x=時取得極值
∴∴
當h′（x）＜0時，即時，
∴h（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是

（II）∵f（x）=-cosx∴f′（x）=sinx，設(shè)F₁（x）=sinx-x，則F₁′（x）=cosx-1≤0
所以F₁（x）在R上是減函數(shù)，故當x≥0時，F(xiàn)₁（x）≤F₁（0）=0，即sinx≤x=|x|
又設(shè)F₂（x）=sinx+x，則F₂′（x）=cosx+1≥0
所以∴F₂（x）在R上是增函數(shù)，故當x≥0時，F(xiàn)₂（x）≥F₂（0）=0
即sinx≥-x=-|x|
∴當x≥0，-|x|≤sinx≤|x|，f′（x）=|sinx|≤|x|
同理可證，當x＜0 時，|f′（x）|=|sinx|≤|x|
對任意的x∈R，都有|f′（x）|≤|x|

（III）
∵|
依據(jù)（II）有


…

故
∴


=
所以原不等式成立
點評：本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值、單調(diào)性的問題及利用函數(shù)的性質(zhì)綜合解決問題，同時考查了考生的綜合運用知識分析問題、解決問題的能力，邏輯推理的能力．