Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=6，a_n+1=a_n+1，數(shù)列{b_n}，點（n，b_n）在過點A（0，1）的直線l上，若l上有兩點B、C，向量

BC

=（1，2）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=n•2bn，試求數(shù)列{c_n}的前n項和．

Answer 1

（1）在數(shù)列{a_n}中，∵a_n+1=a_n+1，∴a_n+1-a_n=1
則數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，又a₁=6，
∴a_n=a₁+（n-1）d=6+1×（n-1）=n+5．
設(shè)l上任意一點P（x，y），∵點A（0，1）在直線l上，則

AP

=（x，y-1），
由已知可得

AP

∥

BC

，又向量

BC

=（1，2），
∴2x-（y-1）=0，∴直線l的方程為y=2x+1，
又直線l過點（n，b_n），∴b_n=2n+1；       
（2）由cn=n•2bn=n•22n+1
∴S_n=C₁+C₂+…+c_n
=1×2³+2×2⁵+3×2⁷+…+n•2²ⁿ⁺¹①
4Sn=1×25+2×27+…+(n-1)•22n+1+n•22n+3②
①-②得：-3Sn=23+25+27+…+22n+1-n•22n+3．
=

8(1-4n)

1-4

-n•22n+3=

8(1-4n)

-3

-n•22n+3
∴Sn=

8+(3n-1)22n+3

9

．