Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+θ）（ω＞0，|θ|＜

π

2

）圖象的對稱中心與函數(shù)g（x）=tan（x+ϕ）圖象的對稱中心完全相同，且當(dāng)x=

π

6

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值，則函數(shù)f（x）的解析式是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：依題意，知f（x）=2sin（ωx+θ）（ω＞0）的周期與g（x）=tan（x+ϕ）的周期相同，從而可求得ω=2；繼而可求得θ，從而可得函數(shù)y=f（x）的解析式．

解答： 解：設(shè)f（x）=2sin（ωx+θ）（ω＞0）的周期為T，則T=

2π

ω

；
∵函數(shù)g（x）=tan（x+ϕ）的周期為π，圖象的對稱中心為（

kπ

2

+ϕ，0），
函數(shù)f（x）=2sin（ωx+θ）（ω＞0，|θ|＜

π

2

）圖象的對稱中心與函數(shù)g（x）=tan（x+ϕ）圖象的對稱中心完全相同，
∴

1

2

T=

π

2

，即T=

2π

ω

=π（y=f（x）與y=g（x）的周期相同），解得ω=2；
又當(dāng)x=

π

6

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值2，
∴2×

π

6

+θ=2kπ+

π

2

，k∈Z．
∴θ=2kπ+

π

6

，k∈Z．
又|θ|＜

π

2

，
∴θ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
故答案為：f（x）=2sin（2x+

π

6

）．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)解析式的確定，著重考查正切函數(shù)與正弦函數(shù)的周期性與對稱性，求得ω=2是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵，考查理解與應(yīng)用能力，屬于中檔題．