Question

（2013•寧德模擬）已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（0，2），離心率為

2

2

，過點(diǎn)A的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)M．
（I）求橢圓Γ的方程；
（II）是否存在直線l，使得以AM為直徑的圓C，經(jīng)過橢圓Γ的右焦點(diǎn)F且與直線 x-2y-2=0相切？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由點(diǎn)A（0，2）可得b值，由離心率為

2

2

可得

c

a

=

2

2

，再由a²=b²+c²，聯(lián)立方程組即可求得a，b值；
（II）假設(shè)存在直線l，使得以AM為直徑的圓C，經(jīng)過橢圓后的右焦點(diǎn)F且與直線x-2y-2=0相切，根據(jù)以AM為直徑的圓C過點(diǎn)F可得∠AFM=90°，求出直線MF方程，聯(lián)立直線MF方程與橢圓方程可得求得M坐標(biāo)，利用直線與圓相切的條件d=r分情況驗(yàn)證圓與直線x-2y-2=0相切即可；

解答：解：（Ⅰ）依題意得

b=2 c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得

a=2 2 b=2 c=2

，
所以所求的橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）假設(shè)存在直線l，使得以AM為直徑的圓C，經(jīng)過橢圓后的右焦點(diǎn)F且與直線x-2y-2=0相切，
因?yàn)橐訟M為直徑的圓C過點(diǎn)F，所以∠AFM=90°，即AF⊥AM，
又kAF=

2-0

0-2

=-1，所以直線MF的方程為y=x-2，
由

y=x-2 x2 8 + y2 4 =1

消去y，得3x²-8x=0，解得x=0或x=

8

3

，
所以M（0，-2）或M（

8

3

，

2

3

），
（1）當(dāng)M為（0，-2）時(shí)，以AM為直徑的圓C為：x²+y²=4，
則圓心C到直線x-2y-2=0的距離為d=

|0-2×0-2|

12+(-2)2

=

2

5

5

≠

2 5

3

，
所以圓C與直線x-2y-2=0不相切；
（2）當(dāng)M為（

8

3

，

2

3

）時(shí)，以AM為直徑的圓心C為（

4

3

，

4

3

），半徑為r=

1

2

|AM|=

1

2

( 8 3 )2+( 2 3 -2)2

=

2 5

3

，
所以圓心C到直線x-2y-2=0的距離為d=

| 4 3 - 8 3 -2|

5

=

2 5

3

=r，
所以圓心C與直線x-2y-2=0相切，此時(shí)k_AF=

2 3 -2

8 3 -0

=-

1

2

，所以直線l的方程為y=-

1

2

x+2，即x+2y-4=0，
綜上所述，存在滿足條件的直線l，其方程為x+2y-4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考直線與圓錐曲線的關(guān)系、橢圓方程的求解，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查分類討論思想，解決探究型問題，往往先假設(shè)存在，由此推理，若符合題意，則存在，否則不存在．