Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式分別為a_n=2ⁿ，b_n=3n+2，它們的公共項(xiàng)由小到大排成的數(shù)列記為{c_n}，則數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式是
c_n=________．

Answer 1

2²ⁿ⁺¹
分析：a₁、a₂不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．a(chǎn)₃=8是數(shù)列{b_n}中的第2項(xiàng)，設(shè)a_k=2^k是數(shù)列{b_n}中的第m項(xiàng)，則2^k=3m+2，（k、m∈N^*）．再證明a_k+1不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．a(chǎn)_k+2是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．所以c₁=a₃，c₂=a₅，c₃=a₇，…，c_n=a_2n+1，由此求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式．
解答：∵a_n=2ⁿ，
∴數(shù)列{a_n}是以2首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
∴a₁=2．a(chǎn)₂=4．a(chǎn)₃=8
知a₁、a₂顯然不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．
∵a₃=8=3×2+2，
∴a₃是數(shù)列{b_n}中的第2項(xiàng)，
設(shè)a_k=2^k是數(shù)列{b_n}中的第m項(xiàng)，則2^k=3m+2（k、m∈N^*）．
∵a_k+1=2^k+1=2×2^k=2（3m+2）=3（2m+1）+1，
∴a_k+1不是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．
∵a_k+2=2^k+2=4×2^k=4（3m+2）=3（4m+2）+2，
∴a_k+2是數(shù)列{b_n}中的項(xiàng)．
∴c₁=a₃，c₂=a₅，c₃=a₇，…，c_n=a_2n+1，
∴數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式是c_n=2²ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
故答案為：2²ⁿ⁺¹．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用．