Question

過點(diǎn)（0，4）、斜率為-1的直線與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點(diǎn)A，B，如果OA⊥OB（O為原點(diǎn)）求P的值及拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：聯(lián)立方程

y=-x+4 y=2px

，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得y₁y₂的值，由OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，解出p值，即得
拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：直線方程為y=-x+4，聯(lián)立方程

y=-x+4 y=2px

，消去y得，x²-2（p+4）x+16=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得x₁+x₂=2（p+4），x₁x₂=16，△=4（p+2）²-64＞0．
所以：y₁y₂=（-x₁+4）（-x₂+4）=-8p，p＞0．
由已知OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，從而16-8p=0，得p=2．
所以拋物線方程為y²=4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)，兩直線垂直的性質(zhì)，求出p=2是解題的關(guān)鍵．