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3.已知函數(shù)f(x)=(x-m)ex(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若f(x)在原點處的切線與y=2x+1垂直,求實數(shù)m的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)當m=0時,證明:f(x)≥lnx+x+1.

分析 (1)求導(dǎo)f′(x)=(x-m+1)ex,切線的斜率k=-12,故f′(0)=1-m=-12,解得:m=32;
(2)f′(x)=(x-m+1)ex,f′(x)>0,求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間,f′(x)<0,求得函數(shù)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(3)當m=0時,f(x)=xex,設(shè)g(x)=xex-lnx-x-1,(x>0),求導(dǎo)g′(x)=(x+1)(ex-1x),利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性,求得g(x)單調(diào)性,g(x)≥g(x0)=x0ex0-1x0)-lnx0-x0=0,即可證明,f(x)≥lnx+x+1.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=(x-m)ex,求導(dǎo)f′(x)=(x-m+1)ex,
若f(x)在原點處的切線與y=2x+1垂直,則切線的斜率k=-12
故f′(0)=1-m=-12,
解得:m=32;
(2)f′(x)=(x-m+1)ex,
令f′(x)>0,解得:x>m-1,
令f′(x)<0,解得:x<m-1,
故f(x)在(-∞,m-1)遞減,在(m-1,+∞)遞增;
(3)證明:m=0時,f(x)=xex,
令g(x)=xex-lnx-x-1,(x>0),
g′(x)=(x+1)(ex-1x),
由函數(shù)y=ex,在(0,+∞)上是增函數(shù),函數(shù)y=1x在(0,+∞)上是減函數(shù),
則h(x)=ex-1x在(0,+∞)上是增函數(shù),則h(12)=e-2<0,h(1)=e-1>0,
∴函數(shù)h(x)存在零點,設(shè)零點為x0,ex01x0=0
∴l(xiāng)nx0+x0=0,
∴當0<x<x0,g′(x)<0,當x>x0,g′(x)>0,
故g(x)在(0,x0)上是減函數(shù),在(x0,+∞)上是增函數(shù),
∴g(x)≥g(x0)=x0ex0-1x0)-lnx0-x0=0,
∴f(x)≥lnx+x+1,
綜上可知:函數(shù)f(x)≥lnx+x+1..

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值,考查構(gòu)造法,考查計算能力,屬于中檔題.

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