Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；  
（2）利用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)f（x）=x²+ax+b，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，知-=1，由此能求出a．
（2）由（1）知 f （ x ）=x²-2x+b，再用定義法證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．
解答：（本小題滿分12分）
解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+ax+b，且f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴-=1，解得a=-2．…（3分）
（2）根據(jù)（1）可知 f （ x ）=x²-2x+b，
下面證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．
設(shè)x₁＞x₂≥1，則f（x₁）-f（x₂）…（5分）
=（）-（）
=（）-2（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁+x₂-2）…（8分）
∵x₁＞x₂≥1，則x₁-x₂＞0，且x₁+x₂-2＞2-2=0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），…（11分）
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意單調(diào)性的定義證明方法的靈活運(yùn)用．