Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S5=a32，且S₁，S₃，S₉成等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：根據(jù)條件S5=a32，且S₁，S₃，S₉成等比數(shù)列，建立方程組求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：在等差數(shù)列中，由S5=a32，得

5(a1+a5)

2

=

5×2a3

2

=5a3=

a

2 3

，
解得a₃=0或a₃=5，
∵S₁，S₃，S₉成等比數(shù)列，
∴

S

2 3

=S1S9，S₃≠0
即(a1+2d)2=a1(a1+8d)，
∴4d²=4a₁d，
解得d=0或d=a₁．
當(dāng)d=0，若a₃=0，則S₃=0不成立，∴a₃≠0．
當(dāng)d=0，若a₃=5，此時(shí)a_n=a₃=5，
當(dāng)d=a₁．若a₃=0，則

a1+2d=0 d=a1

，解得a₁=d=0，此時(shí)S₃=0不成立，∴a₃≠0．
當(dāng)d=a₁，若a₃=5，則

a1+2d=5 d=a1

，解得a1=d=

5

3

，此時(shí)a_n=a1+(n-1)d=na1=

5

3

n．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=5或a_n=

5

3

n．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的計(jì)算，利用條件建立方程組求出首項(xiàng)和公差是解決本題的關(guān)鍵．