Question

已知，若過(guò)定點(diǎn)、以（λ∈R）為法向量的直線l₁與過(guò)點(diǎn)以為法向量的直線l₂相交于動(dòng)點(diǎn)P．
（1）求直線l₁和l₂的方程；
（2）求直線l₁和l₂的斜率之積k₁k₂的值，并證明必存在兩個(gè)定點(diǎn)E，F(xiàn)，使得恒為定值；
（3）在（2）的條件下，若M，N是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，試問(wèn)當(dāng)|MN|取最小值時(shí)，向量與是否平行，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)所給直線上的定點(diǎn)坐標(biāo)以及法向量，即可寫出兩直線方程．
（2）根據(jù)（1）中所求直線l₁和l₂的方程，可分別求出兩直線的斜率，再計(jì)算k₁k₂，為定值，再用p點(diǎn)坐標(biāo)表示k₁k₂，與前面所求k₁k₂的值相等，即可得到P點(diǎn)的軌跡方程．為橢圓，根據(jù)橢圓定義，可知橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定植，所以必存在兩個(gè)定點(diǎn)E，F(xiàn)，使得恒為定值．
（3）因?yàn)镸，N的橫坐標(biāo)相同，設(shè)出它們的縱坐標(biāo)，先把|MN|用M，N的縱坐標(biāo)表示，根據(jù)且，求出M，N縱坐標(biāo)的關(guān)系式，代入|MN|，即可求出|MN|的最小值，以及相應(yīng)的M，N縱坐標(biāo)，并據(jù)此求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)關(guān)系，即可判斷向量與是否平行．
解答：解：（1）直線l₁的法向量，l₁的方程：，
即為；
直線l₂的法向量，l₂的方程：，
即為． 
（2）．   
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），由，得．
由橢圓的定義的知存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得恒為定值4．
此時(shí)兩個(gè)定點(diǎn)E、F為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．
（3）設(shè)，，則，，
由，得y₁y₂=-6＜0．
|MN|²=（y₁-y₂）²=y₁²+y₂²-2y₁y₂≥-2y₁y₂-2y₁y₂=-4y₁y₂=24；
當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，|MN|取最小值．，故與平行．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓定義的應(yīng)用，以及直線與圓錐曲線相交弦長(zhǎng)的求法．