Question

雙曲線x²-y²=2008的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，P為其右支上一點(diǎn)，且∠A₁PA₂=4∠PA₁A₂，則∠PA₁A₂等于（ ）
A．
B．
C．
D．無(wú)法確定

Answer 1

【答案】分析：設(shè)a²=2008，根據(jù)題意可表示A₁，A₂坐標(biāo)，設(shè)出P坐標(biāo)，則可分別表示出PA₁和PA₂的斜率，二者乘求得 ，根據(jù)雙曲線方程可知 =1，進(jìn)而可推斷出-tan∠PA₁A₂tan∠PA₂A₁=1．從而tan∠PA₁A₂tan（5∠PA₁A₂）=1
最后得出5∠PA₁A₂=-∠PA₁A₂即可求得∠PA₁A₂．
解答：解：設(shè)a²=2008，
A₁（-a，0），A₂（a，0），P（x，y），
k_PA1=tan∠PA₁A₂=，①
k_PA2=-tan∠PA₂A₁=，②
由x²-y²=a²得 =1，
①×②，得-tan∠PA₁A₂tan∠PA₂A₁=1，
∴tan∠PA₁A₂tan（5∠PA₁A₂）=1
即tan（5∠PA₁A₂）=tan（ -∠PA₁A₂）
∴5∠PA₁A₂=-∠PA₁A₂
∴∠PA₁A₂=
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題以雙曲線為載體，主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)．題中靈活的利用了雙曲線的方程．