Question

（2013•青島二模）已知點(diǎn)F（1，0）為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A（a，0）、B（0，b）的直線(xiàn)與圓x2+y2=

12

7

相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求證：

1

|MF|

+

1

|NF|

為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由焦點(diǎn)坐標(biāo)知c=1，則a²=b²+1①，寫(xiě)出直線(xiàn)AB方程并化簡(jiǎn)，由直線(xiàn)與圓相切得d2=

(ab)2

a2+b2

=

12

7

②，聯(lián)立①②解得a，b即得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），分情況討論：（1）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，x₁=x₂=1，易求

1

|MF|

+

1

|NF|

的值；（2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=k（x-1），代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，利用兩點(diǎn)間距離公式可把|MF|、|NF|用橫坐標(biāo)表示出來(lái)，不妨設(shè)x₂＜1，x₁＞1，則

1

|MF|

+

1

|NF|

通分后可代入韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)即得數(shù)值，綜合（1）（2）即得結(jié)論；

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)镕（1，0）為橢圓的右焦點(diǎn)，所以a²=b²+1①，
AB的直線(xiàn)方程為

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
所以d2=

(ab)2

a2+b2

=

12

7

，化簡(jiǎn)得12（a²+b²）=7a²b²②，
由①②得：a²=4，b²=3，
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ） 設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
（1）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，x₁=x₂=1，則

1

4

+

y12

3

=1，解得y12=

9

4

，
所以|MF|=|NF|=

3

2

，則

1

|MF|

+

1

|NF|

=

4

3

；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l：y=k（x-1），
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
則x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

，
|MF|=

(x1-1)2+y12

=

(x1-1)2+k2(x1-1)2

=

1+k2

|x1-1|，
同理|NF|=

1+k2

|x2-1|，
不妨設(shè)x₂＜1，x₁＞1，則

1

|MF|

+

1

|NF|

=

1

1+k2

(

1

|x2-1|

+

1

|x1-1|

)
=

1

1+k2

(

1

1-x2

+

1

x1-1

)=

1

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

x1+x2-x1x2-1

=

1

1+k2

×

( 8k2 3+4k2 )2-4× 4k2-12 3+4k2

8k2 3+4k2 - 4k2-12 3+4k2 -1

=

1

1+k2

×

12 1+k2

9

=

4

3

，
綜（1）（2），所以

1

|MF|

+

1

|NF|

為定值

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理是解決該類(lèi)題目常用知識(shí)，要熟練掌握，解決（Ⅱ）問(wèn)的關(guān)鍵是設(shè)x₂＜1，x₁＞1去掉絕對(duì)值符號(hào)然后代入韋達(dá)定理．