(2013•青島二模)已知點(diǎn)F(1,0)為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A(a,0)、B(0,b)的直線(xiàn)與圓x2+y2=
12
7
相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓C于M、N兩點(diǎn),求證:
1
|MF|
+
1
|NF|
為定值.
分析:(Ⅰ)由焦點(diǎn)坐標(biāo)知c=1,則a2=b2+1①,寫(xiě)出直線(xiàn)AB方程并化簡(jiǎn),由直線(xiàn)與圓相切得d2=
(ab)2
a2+b2
=
12
7
②,聯(lián)立①②解得a,b即得橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),分情況討論:(1)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),x1=x2=1,易求
1
|MF|
+
1
|NF|
的值;(2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),設(shè)l:y=k(x-1),代入橢圓方程消掉y得x的二次方程,利用兩點(diǎn)間距離公式可把|MF|、|NF|用橫坐標(biāo)表示出來(lái),不妨設(shè)x2<1,x1>1,則
1
|MF|
+
1
|NF|
通分后可代入韋達(dá)定理,化簡(jiǎn)即得數(shù)值,綜合(1)(2)即得結(jié)論;
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)镕(1,0)為橢圓的右焦點(diǎn),所以a2=b2+1①,
AB的直線(xiàn)方程為
x
a
+
y
b
=1
,即bx+ay-ab=0,
所以d2=
(ab)2
a2+b2
=
12
7
,化簡(jiǎn)得12(a2+b2)=7a2b2②,
由①②得:a2=4,b2=3,
所以橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
;
(Ⅱ) 設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),
(1)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),x1=x2=1,則
1
4
+
y12
3
=1
,解得y12=
9
4
,
所以|MF|=|NF|=
3
2
,則
1
|MF|
+
1
|NF|
=
4
3
;
(2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),設(shè)l:y=k(x-1),
聯(lián)立
y=k(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
x1+x2=
8k2
3+4k2
x1x2=
4k2-12
3+4k2
,
|MF|=
(x1-1)2+y12
=
(x1-1)2+k2(x1-1)2
=
1+k2
|x1-1|
,
同理|NF|=
1+k2
|x2-1|

不妨設(shè)x2<1,x1>1,則
1
|MF|
+
1
|NF|
=
1
1+k2
(
1
|x2-1|
+
1
|x1-1|
)

=
1
1+k2
(
1
1-x2
+
1
x1-1
)=
1
1+k2
×
(x1+x2)2-4x1x2
x1+x2-x1x2-1

=
1
1+k2
×
(
8k2
3+4k2
)
2
-4×
4k2-12
3+4k2
8k2
3+4k2
-
4k2-12
3+4k2
-1
=
1
1+k2
×
12
1+k2
9
=
4
3
,
綜(1)(2),所以
1
|MF|
+
1
|NF|
為定值
4
3
點(diǎn)評(píng):本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系、橢圓方程的求解,弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理是解決該類(lèi)題目常用知識(shí),要熟練掌握,解決(Ⅱ)問(wèn)的關(guān)鍵是設(shè)x2<1,x1>1去掉絕對(duì)值符號(hào)然后代入韋達(dá)定理.
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1+x2
+
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2
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