Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

3

，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切．
（I）求橢圓C₁的方程；
（II）直線l₁過橢圓C₁的左焦點(diǎn)F₁，且與x軸垂直，動(dòng)直線l₂垂直于直線l₂，垂足為點(diǎn)P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（III）設(shè)C₂上的兩個(gè)不同點(diǎn)R、S滿足

OR

•

RS

=0，求|

OS

|的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（I）由離心率為

3

3

，可得2a²=3b²，利用直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，可求b的值，從而可得橢圓方程；
（II）由|MP|=|NF₂|得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以直線x=-1為準(zhǔn)線，以F₂為焦點(diǎn)的拋物線，從而可得軌跡C₂的方程；
（III）設(shè)出R，S的坐標(biāo)，利用

OR

•

RS

=0，可得縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用基本不等式確定S縱坐標(biāo)的范圍，進(jìn)而可求|

OS

|的取值范圍．

解答：解：（I）由離心率為

3

3

，得

a2-b2

a2

=

1

3

，∴2a²=3b²，
∵直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切，
∴

2

2

=b
∴b=

2

∴a=

3

，
∴橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1            …（3分）
（II）由|MP|=|NF₂|得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以直線x=-1為準(zhǔn)線，以F₂為焦點(diǎn)的拋物線．
∴軌跡C₂的方程是y²=4x                         …（6分）
（III）設(shè)R（

y12

4

，y₁），S（

y22

4

，y₂），則

OR

=（

y12

4

，y₁），

OS

=（

y22

4

，y₂），
∴

RS

=（

y22-y12

4

，y₂-y₁），
∵

OR

•

RS

=0，∴

y22-y12

4

×

y12

4

+y₁（y₂-y₁）=0，
∵y₂≠y₁，∴y₂=-（y₁+

16

y1

），
∵y22=（y₁+

16

y1

）²=y12+

256

y12

+32≥64，當(dāng)且僅當(dāng)y12=

256

y12

，即y₁=±4等號成立，…（9分）
∵|

OS

|=

1

4

(y22+8)2-64

，y22≥64，
∴當(dāng)y22=64，即y₂=±8時(shí)，|

OS

|取得最小值8

5

，
∴|

OS

|的取值范圍是[8

5

，+∞）                       …（12分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查基本不等式，定型定量是關(guān)鍵．