Question

已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍。

Answer 1

解：若a=0，則函數(shù)f（x）=2x-3在區(qū)間 [-1，1]上沒有零點(diǎn)，
下面就a≠0時(shí)分三種情況討論：
 （1）方程f（x）=0在區(qū)間[ -1，1]上有重根
此時(shí)Δ=4（2a²+6a+1）=0
解得
當(dāng)時(shí)，f（x）=0的重根x=；
當(dāng)時(shí)，f（x）=0的重根；
故當(dāng)方程f（x）=0在區(qū)間[ -1，1]上有重根時(shí)，；
（2）f（x）在區(qū)間[ -1，1]上只有一個(gè)零點(diǎn)且不是f（x）=0的重根
此時(shí)有f（-1）f（1）≤0
∵f（-1）=a-5
f（1）=a-1
∴（a-5）（a-1）≤01≤a≤5
∵當(dāng)a=5時(shí)，方程f（x）=0在區(qū)間[ -1，1]上有兩個(gè)相異實(shí)根，
故當(dāng)方程f（x）=0在區(qū)間[-1，1]上只有一個(gè)根且不是重根時(shí)，1≤a<5。
（3）方程f（x）=0在區(qū)間[ -1，1]上有兩相異實(shí)根
因?yàn)楹瘮?shù)
其圖象的對(duì)稱軸方程為
a應(yīng)滿足：
解不等式組（i）得a≥5
解不等式組（ii）得
故當(dāng)方程f（x）=0在區(qū)間[ -1，1]上有兩個(gè)相異實(shí)根時(shí)

注意到當(dāng)1≤a<5時(shí)，f（-1）f（1）≤0，方程f（x）=0在區(qū)間 [ -1，1]上有根；
當(dāng)時(shí)，由于，且
方程f（x）=0在[ -1，1]上有根；
當(dāng)時(shí)，方程f（x）=0在區(qū)間[-1，1]有根
綜上所述，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[ -1，1]上有零點(diǎn)，則a的取值范圍是。