Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B（0，4），離心率e=

3

5

．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），在橢圓上求一點(diǎn)Q使△OPQ的面積最大．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知：橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，b=4，據(jù)此可設(shè)出橢圓的此方程，再根據(jù)參數(shù)a、b、c的關(guān)系及其離心率即可得出；
（Ⅱ）求出與直線OP平行且與橢圓相切的直線方程及其切點(diǎn)即可．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知：橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，b=4，可設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

42

=1，
   又離心率e=

c

a

=

3

5

，及a²=4²+c²，解得

a=5 c=3

，
∴橢圓的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．
（Ⅱ）∵kOP=

2

2

=1，∴可設(shè)與直線OP平行且與橢圓相切的直線方程為y=x+t．
聯(lián)立

y=x+t x2 25 + y2 16 =1

，消去y得到關(guān)于x的方程41x²+50tx+25t²-400=0，（*）
∴△=0，即2500t²-4×41×（25t²-400）=0，化為  t²=41，解得t=±

41

．
∴切線方程為y=x±

41

．
把t=±

41

代入（*）解得x=±

25 41

41

，代入y=x+t求得Q(

25 41

41

，-

16 41

41

)，或(-

25 41

41

，

16 41

41

)．
上面這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足是得△OPQ的面積最大．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相切問題的解法是解題的關(guān)鍵．