Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a1=

1

4

，bn+1=

bn

1- a n2

a_n+b_n=1．
（1）求證：數(shù)列{

1

bn-1

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)s_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…a_na_n+1，若4aS_n＜b_n對(duì)于n∈N^*恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）由a_n+b_n=1，得b_n=1-a_n，
依題意bn+1=

bn

1- a 2n

=

1-an

(1-an)(1+an)

=

1

1+an

∴

1

bn+1-1

-

1

bn-1

=

1

1 1+an -1

-

1

1-an-1

=-

1

an

-1+

1

an

=-1∵a1=

1

4

，∴b1=

3

4

，

1

b1-1

=-4，∴數(shù)列{

1

bn-1

}是以-4為首項(xiàng)公差為-1的等差數(shù)列
（2）由（1）知

1

bn-1

=-4+(n-1)(-1)=-n-3，
則bn=-

1

n+3

+1=

n+2

n+3

，an=1-bn=1-

n+2

n+3

=

1

n+3

（3）S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1=

1

4×5

+

1

5×6

+

1

(n+3)•(n+4)

=

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+

1

n+3

-

1

n+4

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

∴4aS_n-b_n=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

依題意可知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立，令f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8
當(dāng)a=1時(shí)，f（n）=-3n-8＜0恒成立
當(dāng)a＞1時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)知f（n）＜0不可能成立
當(dāng)a＜1時(shí)，此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-

3a-6

2(a-1)

=-

3

2

(1-

1

a-1

)＜0
則f（n）在n∈N^*上是單調(diào)遞減，∴要使f（n）＜0對(duì)n∈N^*恒成立
必須且只須f（1）＜0即4a-15＜0，∴a＜

15

4

，又a＜1∴a＜1
綜上a≤1，4aS_n≤b_n對(duì)于n∈N^*恒成立．