Question

（2013•鄭州一模）已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|x-2a|，f（x）≤3
（I）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）≤3的解集；
（II）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）≤3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)a=l時(shí)，原不等式可化為|2x-1|+|x-2|≤3，分當(dāng)x＞2時(shí)、當(dāng)

1

2

≤x≤2時(shí)、當(dāng)x＜

1

2

時(shí)這三種情況，分別求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
（II）原不等式可化為|x-2a|≤3-|2x-1|，由x∈[1，2]，可得|x-2a|≤4-2x，故3x-4≤2a≤4-x 對(duì)x∈[1，2]恒成立，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，求得3x-4 的最大值和4-x的最小值，可得a的取值范圍．

解答：解：（I）當(dāng)a=l時(shí)，原不等式可化為|2x-1|+|x-2|≤3，依題意，
當(dāng)x＞2時(shí)，不等式即3x-3≤3，則解得 x≤2，綜合可得，x無(wú)解．
當(dāng)

1

2

≤x≤2時(shí)，不等式即 x+1≤3，解得x≤2，綜合可得，

1

2

≤x≤2．
當(dāng)x＜

1

2

時(shí)，不等式即 3-3x≤3，解得x≥0，綜合可得0≤x＜

1

2

．
綜上所述：原不等式的解集為[0，2]．----（5分）
（II）原不等式可化為|x-2a|≤3-|2x-1|，∵x∈[1，2]，
所以，|x-2a|≤4-2x，即 2x-4≤2a-x≤4-2x，故3x-4≤2a≤4-x 對(duì)x∈[1，2]恒成立，
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，3x-4 的最大值2，4-x的最小值為2，所以a=1，即a的取值范圍為{1 }． （10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．