Question

已知F₁、F₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．△F₁AB為等邊三角形，A，B是橢圓上兩點(diǎn)且AB過(guò)F₂，則橢圓離心率是

3

3

．

Answer 1

分析：先利用橢圓的對(duì)稱(chēng)性判斷F₁F₂為正三角形F₁AB的AB邊上的高，再利用橢圓的定義，求得正三角形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而將焦距F₁F₂用邊長(zhǎng)表示，解得離心率e=

c

a

即可

解答：解：根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，一定有F₁F₂⊥AB
設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，焦距為2c，
由橢圓定義知三角形F₁AB的周長(zhǎng)為4a，故此三角形邊長(zhǎng)為

4a

3

，
∴正三角形F₁AB的AB邊上的高F₁F₂=2c=

3

2

×

4a

3

∴橢圓離心率e=

c

a

=

3

3

故答案為

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的定義及其幾何性質(zhì)，橢圓離心率的求法，利用已知三角形找到a、c間的等式是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題