Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在上的最小值；

（2）若，不等式恒成立，求的取值范圍；

（3）若，不等式恒成立，求的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）a=0時， ， ，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在上的最小值．（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，x0）上遞減，在（x0，+∞）上遞增，由x＞0，不等式f（x）≥1恒成立，得lnx0+2x02e2x0≤0，由此能求出a的取值范圍．（3）由，得對任意成立，令函數(shù)，∴由此利用導數(shù)研究單調(diào)性能求出a的取值范圍．

試題解析：

解（1）時，

∴， ，

∴函數(shù)在上是增函數(shù)，

又函數(shù)的值域為，

故，使得，

又∵，∴，∴當時，span> ，

即函數(shù)在區(qū)間上遞增，∴.

（2），

由（1）知函數(shù)在上是增函數(shù)，且，使得，

進而函數(shù)在區(qū)間上遞減，在上遞增，

，

由，得： ，

∴，∴，

∵，不等式恒成立，

∴，∴，

設(shè)，則為增函數(shù)，且有唯一零點，設(shè)為，

則，則，即，

令，則單調(diào)遞增，且，

則，即，∵在為增函數(shù)，

則當時， 有最大值， ，

∴，∴的取值范圍是.

（3）由，得，

∴，∴對任意成立，

令函數(shù)，∴

當時， ，當時， ，

∴當時，函數(shù)取得最小值

∴，∴的取值范圍是.