Question

若a滿(mǎn)足x+lgx=4，b滿(mǎn)足x+10^x=4，函數(shù)f（x）=，則關(guān)于x的方程f（x）=x的解的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)a滿(mǎn)足x+lgx=4，b滿(mǎn)足x+10^x=4，可得a+b=4，進(jìn)而可分類(lèi)求出關(guān)于x的方程f（x）=x的解，從而確定關(guān)于x的方程f（x）=x的解的個(gè)數(shù)．
解答：解：∵a滿(mǎn)足x+lgx=4，b滿(mǎn)足x+10^x=4，
∴a，b分別為函數(shù)y=4-x與函數(shù)y=lgx，y=10^x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)
由于y=x與y=4-x圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，函數(shù)y=lgx，y=10^x的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)
∴a+b=4
∴函數(shù)f（x）=
當(dāng)x≤0時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=x，即x²+4x+2=x，即x²+3x+2=0，
∴x=-2或x=-1，滿(mǎn)足題意
當(dāng)x＞0時(shí)，關(guān)于x的方程f（x）=x，即x=2，滿(mǎn)足題意
∴關(guān)于x的方程f（x）=x的解的個(gè)數(shù)是3
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的聯(lián)系，考查根的個(gè)數(shù)的研究，解題的關(guān)鍵是求出分段函數(shù)的解析式，有一定的綜合性．