Question

如圖,已知F₁、F₂為雙曲線(a＞0,b＞0)的焦點,過F₂作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P,且∠PF₁F₂=30°.求雙曲線的漸近線方程.

Answer 1

分析:

由于PF₂⊥x軸,因而可求得P點的縱坐標,即可知|PF₂|的值,結合△PF₁F₂為直角三角形及雙曲線的定義,可求得a、b間的關系,就可求得漸近線的斜率.

解法一:

設F₂(c,0)(c＞0),P(c,y₀),

則

∴|PF₂|=.

在Rt△PF₂F₁中,∠PF₁F₂=30°,|F₁F₂|=|PF₂|,即2c=·,將c²=a²+b²代入,

解得b²=2a²,故

∴雙曲線的漸近線方程為y=±x.

解法二:設F₂(c,0)(c＞0),P(c,y₀),

則

∴|PF₂|=.

在Rt△PF₂F₁中,∠PF₁F₂=30°,|PF₁|=2|PF₂|,由雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a,得|PF₂|=2a,

∵|PF₂|=,∴2a=,即b²=2a².

∴

∴雙曲線的漸近線方程為y=±2x.

綠色通道：

雙曲線上一點P與兩焦點F₁、F₂連結形成的△PF₁F₂,是常遇到的一種圖形,它往往把三角形的相關知識(如勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等)與雙曲線的相關知識相結合構造不同的問題,總結對應的解題思路與方法,可從以上的知識入手.