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在棱長為的正方體中，點是正方體棱上一點（不包括棱的端點），，
①若，則滿足條件的點的個數為________；
②若滿足的點的個數為，則的取值范圍是________．

     

解析試題分析：①時，,結合橢圓定義知，動點軌跡為一個以2為長軸長，正方體中心為中心，為焦點的橢圓體.
⑴當橢圓體與有交點時，則由對稱性知橢圓體必與，有交點.
設，則，，
因為，所以由于，所以此時有六個交點.
⑵當橢圓體與有交點時，則由對稱性知橢圓體必與，有交點.
設，則，，
因為得所以由于，所以此時無有六個交點.
說明：當或時，橢圓體與正方體交于除外的六個頂點.
②若則動點不存在.若則動點軌跡為線段，滿足條件的點的個數為2.因此即動點軌跡為一個以2為長軸長，正方體中心為中心，為焦點的橢圓體.由①分析可知，要使得滿足條件的點的個數為6，須使得.
考點：橢圓的標準方程及其性質.

練習冊系列答案
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