Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點為F₁（-c，0）、F₂（c，0），M是橢圓上一點，且滿足

F1M

•

F2M

=0．
（1）求離心率e的取值范圍；
（2）當離心率e取得最小值時，點N（0，3）到橢圓上的點的最遠距離為5

2

，求此時橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意知，設M的坐標，由

F1M

•

F2M

=0和橢圓的方程，解出M的橫坐標的平方，再利用M的橫坐標的平方大于或等于0，且小于或等于a²；，求出離心率的平方的范圍，進而得到離心率的范圍．
（2）當離心率e取

2

2

時，設橢圓的方程（含參數(shù)b），設H（x，y）為橢圓上一點，化簡|HN|² ，利用其最大值，分類討論求出參數(shù)b的值，即得橢圓G的方程．

解答：解：（1）設點M的坐標為（x，y），則

F1M

=(x+c，y)，

F2M

=(x-c，y)．
由

F1M

•

F2M

=0，得x²-c²+y²=0，即x²-c²=-y²．①
又由點M在橢圓上，得y²=b²-

b2

a2

x2，
代入①，得x²-c²=

b2

a2

x2-b2，即x2=a2-

a2b2

c2

．
∵0≤x²≤a²，∴0≤a²-

a2b2

c2

≤a²，即0≤

a2-c2

c2

≤1，0≤

1

e2

-1≤1，
解得

2

2

≤e＜1．
又∵0＜e＜1，
∴

2

2

≤e＜1．              …8分
（2）當離心率e取最小值

2

2

時，橢圓方程可表示為

x2

2b2

+

y2

b2

=1．
設點H（x，y）是橢圓上的一點，則
|HN|²=x²+（y-3）²=（2b²-2y²）+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18（-b≤y≤b）．
若0＜b＜3，則0＞-b＞-3，當y=-b時，|HN|²有最大值b²+6b+9．
由題意知：b²+6b+9=50，b=5

2

-3或b=-5

2

-3，這與0＜b＜3矛盾．
若b≥3，則-b≤-3，當y=-3時，|HN|²有最大值2b²+18．
由題意知：2b²+18=50，b²=16，
∴所求橢圓方程為

x2

32

+

y2

16

=1．…16分．

點評：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，利用兩個向量的數(shù)量積公式及橢圓的性質(zhì)解決具體問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想．