Question

已知tan(

π

4

+α)=

1

2

．
（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求

sin2α-cos2α

1+cos2α

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求tanα的值可有tan(

π

4

+α)=

1

2

變換出關(guān)于tanα的方程，解方程求值．
（II）方法一：求

sin2α-cos2α

1+cos2α

的值可以將其變成由角的正切表示的形式，將（Ⅰ）中求出的正切值代入求值．
方法二：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出角α的正弦值與余弦值，

解答：解：（Ⅰ）解：tan(

π

4

+α)=

tan π 4 +tanα

1-tan π 4 tanα

=

1+tanα

1-tanα

，
由tan(

π

4

+α)=

1

2

，有

1+tanα

1-tanα

=

1

2

，解得tanα=-

1

3

；
（Ⅱ）解法一：

sin2α-cos2α

1+cos2α

=

2sinαcosα-cos2α

1+2cos2α-1

=

2sinα-cosα

2cosα

=tanα-

1

2

=-

1

3

-

1

2

=

5

6

．
解法二：由（1），tanα=-

1

3

，得sinα=-

1

3

cosα
∴sin2α=

1

9

cos2α1-cos2α=

1

9

cos2α，∴cos2α=

9

10

于是cos2α=2cos2α-1=

4

5

，
sin2α=2sinαcosα=-

2

3

cos2α=-

3

5

代入得

sin2α-cos2α

1+cos2α

=

- 3 5 - 9 10

1+ 4 5

=-

5

6

．

點評：考查三角函數(shù)的同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及二倍角公式，兩角和的正切公式．公式較多，知識性較強．