Question

用解析法證明直徑所對(duì)的圓周角是直角．

Answer 1

分析：要證PA與PB垂直，即要求出PA的斜率和PB的斜率，把兩個(gè)斜率相乘得到乘積為-1，所以以AB所在的直線為x軸，圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則得到A、B的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），表示出PA與PB的斜率相乘，把P坐標(biāo)代入圓的方程化簡可得乘積為-1即可得證．

解答：證明：將圓的直徑AB所在的直線取為X軸，圓心作為原點(diǎn)，不妨設(shè)定圓的半徑為1，于是圓的方程是x²+y²=1．
A、B的坐標(biāo)是A（-1，0）、B（1，0）．
設(shè)P（x，y）是圓上任一點(diǎn)，則有y²=1-x²．
∵PA的斜率為k1=

y

x+1

，PB的斜率為k2=

y

x-1

，
∴k1k2=

y2

x2-1

=

1-x2

x2-1

=-1
∴PA⊥PB，∠APB為直角．

點(diǎn)評(píng)：此題為一道證明題，要求學(xué)生掌握兩直線垂直的條件為斜率乘積為-1，會(huì)利用解析的方法證明數(shù)學(xué)問題．