已知向量
m
=(2cosx，1)，向量
n
=(cosx，
3
sin2x)，函數(shù)f(x)=
m
•
n
+
2010
1+cot2x
+
2010
1+tan2x
．
（1）化簡f（x）的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知f（A）=2012，b=1，△ABC的面積為
3
2
，求
1005(a+c)
sinA+sinC
的值．
分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式化簡f（x）=2sin（2x+
π
6
）+2011，
由  2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，且 x≠kπ，x≠kπ+
π
2
，k∈z，求得減區(qū)間．
（2）由f（A）=2012，求得 A，根據(jù)△ABC的面積求出c，由余弦定理求出 a，據(jù)
1005(a+c)
sinA+sinC
=
1005a
sinA
 求值．
解答：解：（1）函數(shù)f(x)=
m
•
n
+
2010
1+cot2x
+
2010
1+tan2x
=2cos2x+
3
sin2x+
2010
1+cot2x
+
2010
1+tan2x
 
=1+cos2x+
3
sin2x+2010=2sin（2x+
π
6
）+2011．
由  2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，且 x≠kπ，x≠kπ+
π
2
，k∈z，得 kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，且x≠kπ+
π
2
，
∴單調(diào)減區(qū)間為 （kπ+
π
6
，kπ+
π
2
）∪（kπ+
π
2
，kπ+
2π
3
）．
（2）f（A）=2012=2sin（2A+
π
6
）+2011，∴sin（2A+
π
6
）=
1
2
，∴A=
π
3
．
又△ABC的面積為
3
2
=
1
2
 bcsinA=
1
2
•1•c•
3
2
，∴c=2．
∴a=
b2+c2-2bc•cosA
=
3
，∴
1005(a+c)
sinA+sinC
=
1005a
sinA
=
1005×
3
3
2
=2010．
點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，余弦定理的應(yīng)用，求單調(diào)減區(qū)間是
解題的難點．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(2cosx，-
3
sin2x)，
n
=（cosx，1），設(shè)函數(shù)f（x）=
m
•
n
，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若方程f（x）-k=0在區(qū)間[0，
π
2
]上有實數(shù)根，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(2cosx，，2sinx)，
n
=(cosx，，
3
cosx)，函數(shù)f(x)=a
m
•
n
+b-a（a、b為常數(shù)且x∈R）．
（Ⅰ） 當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整數(shù)a、b，使得當x∈[0，
π
2
]時，f（x）的值域為[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•威海一模）已知向量
m
=(2cosx，
3
cosx-sinx)，
n
=(sin(x+
π
6
)，sinx)，且滿足f(x)=
m
•
n
．
（I）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）設(shè)△ABC的內(nèi)角A滿足f（A）=2，且
AB
•
AC
=
3
，求邊BC的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
m
=(2cosx，，2sinx)，
n
=(cosx，，
3
cosx)，函數(shù)f(x)=a
m
•
n
+b-a（a、b為常數(shù)且x∈R）．
（Ⅰ） 當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ） 是否存在非零整數(shù)a、b，使得當x∈[0，
π
2
]時，f（x）的值域為[2，8]．若存在，求出a、b的值；若不存在，說明理由．

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