Question

（2011•武漢模擬）已知函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

4

)cosφ+cos(2x+

π

4

)sinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）的圖象關(guān)于直線x=

π

6

對(duì)稱(chēng)．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和的正弦公式可得f（x）=sin（2x+

π

4

φ），令2x+

π

4

+φ =kπ+

π

2

，將x=

π

6

結(jié)合0＜φ＜π可求
（II）由（I）知f（x）=sin（2x+

7π

6

），由

π

2

+2kπ≤2x+

7π

6

≤

3π

2

+2kπ可求

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=sin（2x+

π

4

φ）
又y=sinx的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x=kπ+

π

2

，k∈Z
令2x+

π

4

+φ =kπ+

π

2

，將x=

π

6

代入可得=kπ-

π

12

，k∈Z
∵0＜φ＜π
∴φ=

11π

12

（II）由（I）知f（x）=sin（2x+

7π

6

）
由

π

2

+2kπ≤2x+

7π

6

≤

3π

2

+2kπ得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的兩角和的正弦公式，三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及單調(diào)區(qū)間的求解，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)并能靈活應(yīng)用