Question

釣魚島及其附屬島嶼是中國(guó)固有領(lǐng)土，如圖：點(diǎn)A、B、C分別表示釣魚島、南小島、黃尾嶼，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東47°方向，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏西36°方向，點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏東79°方向，且A、B兩點(diǎn)的距離約為3海里．
（1）求A、C兩點(diǎn)間的距離；（精確到0.01）
（2）某一時(shí)刻，我國(guó)一漁船在A點(diǎn)處因故障拋錨發(fā)出求救信號(hào)．一艘R國(guó)艦艇正從點(diǎn)C正東10海里的點(diǎn)P處以18海里/小時(shí)的速度接近漁船，其航線為P→C→A（直線行進(jìn)），而我東海某漁政船正位于點(diǎn)A南偏西60°方向20海里的點(diǎn)Q處，收到信號(hào)后趕往救助，其航線為先向正北航行8海里至點(diǎn)M處，再折向點(diǎn)A直線航行，航速為22海里/小時(shí)．漁政船能否先于R國(guó)艦艇趕到進(jìn)行救助？說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，∠CAB=11°，∠ABC=115°，在△ABC中，由正弦定理可求A、C兩點(diǎn)間的距離；
（2）求出國(guó)艦艇的到達(dá)時(shí)間、漁政船的到達(dá)時(shí)間，比較可得結(jié)論．

解答：解：（1）由題意，∠CAB=11°，∠ABC=115°，…（2分）
在△ABC中，由正弦定理可得

AB

sin11°

=

AC

sin115°

⇒AC≈14.25海里．      …（4分）
（2）R國(guó)艦艇的到達(dá)時(shí)間為：

14.25+10

18

≈1.35小時(shí)．…（1分）
在△AQM中，cos60°=

AQ2+MQ2-AM2

2•AQ•MQ

=

400+64-AM2

320

，
得AM≈17.44海里，…（4分）
所以漁政船的到達(dá)時(shí)間為：

17.44+8

22

≈1.16小時(shí)．…1 分
因?yàn)?.16＜1.35，所以漁政船先到．          …（1分）
答：漁政船能先于R國(guó)艦艇趕到進(jìn)行救助．  …（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用正弦定理、余弦定理是關(guān)鍵．