Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-2．?dāng)?shù)列{b_n}滿足：b_n=2log₂a_n+1．
（1）求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)a_n，b_n．并比較的a_n與b_n大�。�
（2）求證：

a1

b1-1

+

a2

b2-1

+…+

an

bn-1

≥

1

3

+

n(n+1)

4

．

Answer 1

分析：（1）①對于數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-2，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=Sn-S_n-1，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；②利用①和對數(shù)的運(yùn)算法則即可得出；③分類討論：當(dāng)n=1，2時(shí)，a_n＜b_n；當(dāng)n≥3時(shí)，利用二項(xiàng)式定理展開即可得出a_n＞b_n．
（2）由（1）可得當(dāng)n≥4時(shí)，2ⁿ≥n²．再利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明不等式．

解答：解：（1）①對于數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-2，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-2，解得a₁=2．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=Sn-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，∴an=2×2n-1=2n．
②∴b_n=2log₂a_n+1=2log22n+1=2n+1．
③當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，b₁=3，a₁＜b₁；當(dāng)n=2時(shí)，a2=22=4，b₂=2×2+1=5，a₂＜b₂．
當(dāng)n≥3時(shí)，an=(1+1)n=1+n+…+n+1＞1+2n，
∴a_n＞b_n．
綜上可知：當(dāng)n=1，2時(shí)，a_n＜b_n；當(dāng)n≥3時(shí)，a_n＞b_n．
（2）首先我們證明當(dāng)n≥4時(shí)，2ⁿ≥n²
事實(shí)上，記{dn}：dn=2n-n2．
∵dn+1-dn=2n-(2n+1)=an-bn
由（1）n≥4時(shí)，a_n＞b_n．
∴d_n＜d_n+1．而d₄=0．
∴當(dāng)n≥4時(shí)，d_n≥d₄=0即2ⁿ≥n²．
從而

2n

2n

＞

n

2

．
下面利用“數(shù)學(xué)歸納法”證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

a1

b1-1

=

21

2×1+1-1

=1，右邊=

1

3

+

1×2

4

=

5

6

，∴左邊＞右邊，此時(shí)不等式成立；
當(dāng)n=2時(shí)，左邊=

a1

b1-1

+

a2

b2-1

=

21

2×1

+

22

2×2

=2，右邊=

1

3

+

2×3

4

=

11

6

，∴左邊＞右邊，此時(shí)不等式成立；
當(dāng)n=3時(shí)，左邊=

a1

b1-1

+

a2

b2-1

+

a3

b3-1

=

21

2×1

+

22

2×2

+

23

2×3

=

10

3

，右邊=

1

3

+

3×4

4

=

10

3

，∴左邊=右邊，此時(shí)不等式成立；
當(dāng)n=4時(shí)，左邊=

a1

b1-1

+

a2

b2-1

+

a3

b3-1

+

a4

b4-1

=

21

2×1

+

22

2×2

+

23

2×3

+

24

2×4

=

16

3

，右邊=

1

3

+

4×5

4

=

16

3

，∴左邊=右邊，此時(shí)不等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k≥4時(shí)，

a1

b1-1

+

a2

b2-1

+…+

ak

bk-1

≥

1

3

+

k(k+1)

4

成立．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=

a1

b1-1

+

a2

b2-1

+…+

ak

bk-1

+

ak+1

bk+1-1

≥

1

3

+

k(k+1)

4

+

2k

k+1

≥

1

3

+

k(k+1)

4

+

k+1

2

=

1

3

+

(k+1)(k+1+1)

4

=右邊．
因此此時(shí)當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜上可知：不等式對于?n∈N^*都成立．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對數(shù)的運(yùn)算法則、二項(xiàng)式定理、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．