Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的正視圖1是一個底邊長為4、腰長為3的等腰三角形，圖2、圖53分別是四棱錐P﹣ABCD的側(cè)視圖和俯視圖．
（1）求證：AD⊥PC；
（2）求四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：依題意，可知點(diǎn)P在平面ABCD上的正射影是線段CD的中點(diǎn)E，連接PE，

則PE⊥平面ABCD．

∵AD平面ABCD，

∴AD⊥PE．

∵AD⊥CD，CD∩PE=E，CD平面PCD，PE平面PCD，

∴AD⊥平面PCD．

∵PC平面PCD，

∴AD⊥PC．

（2）解：依題意，在等腰三角形PCD中，PC=PD=3，DE=EC=2，

在Rt△PED中， ，

過E作EF⊥AB，垂足為F，連接PF，

∵PE⊥平面ABCD，AB平面ABCD，

∴AB⊥PE．

∵EF平面PEF，PE平面PEF，EF∩PE=E，

∴AB⊥平面PEF．

∵PF平面PEF，

∴AB⊥PF．

依題意得EF=AD=2．

在Rt△PEF中， ，

∴四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面積

．

【解析】（1）根據(jù)三視圖形狀可得側(cè)面PDC⊥平面ABCD，結(jié)合矩形ABCD中AD⊥CD，由面面垂直的性質(zhì)得AD⊥側(cè)面PDC．再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合PC側(cè)面PDC可證出AD⊥PC；（2）過E作EF⊥AB，垂足為F，連接PF，分別求出側(cè)面積，即得四棱錐P﹣ABCD的側(cè)面積．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．