Question

13．設F₁、F₂為雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的兩個焦點，點P在雙曲線上，且滿足∠F₁PF₂=60°，則△F₁PF₂的面積為9$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用雙曲線的簡單性質、余弦定理列出方程組，求出PF₁•PF₂=36，由此能求出△F₁PF₂的面積．

解答 解：∵F₁、F₂是雙曲線$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$的兩個焦點，P是此雙曲線上的點，∠F₁PF₂=60°，
不妨設PF₁＞PF₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{P{F}_{1}-P{F}_{2}=8}\\{{F}_{1}{F}_{2}=10}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}-2P{F}_{1}•P{F}_{2}=64}\\{P{{F}_{1}}^{2}+P{{F}_{2}}^{2}-2×P{F}_{1}×P{F}_{2}×cos60°=100}\end{array}\right.$，
整理，得PF₁•PF₂=36，
∴△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}×P{F}_{1}×P{F}_{2}×sin60°$=9$\sqrt{3}$．
故答案為：9$\sqrt{3}$

點評 本題考查三角形面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意雙曲線的簡單性質的合理運用．