Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤

π

2

，x∈R）的圖象的一個對稱中心的橫坐標為-

4

3

，它在y軸右側的第一個最大值點和第一個最小值點的坐標分別為（x₀，3）和（x₀+8，-3）．
（1）求此函數的解析式f（x），并指出f（x）的對稱軸的方程；
（2）先把f（x）沿y軸向下平移一個單位，然后縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

π

4

，得到函數g（x），再把g（x）圖象上的所有點向右平移

π

3

個單位，得到函數h（x），若x∈[0，π]時，h（x）＞

α

1+sinx

恒成立，求實數α的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數的最值

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）由題意可得函數的解析式f（x）=3sin（

π

8

x+

π

6

），由

π

8

x+

π

6

=kπ+

π

2

解x可得；（2）由函數圖象的變換可得h（x）=3sin

1

2

x-1，問題轉化為α＜（3sin

1

2

x-1）

1+sinx

，對x∈[0，π]恒成立，而（3sin

1

2

x-1）

1+sinx

的最小值為-1，（x=0時），故而可得答案．

解答： 解：（1）由題意可得A=3，

π

ω

=x₀+8-x₀=8，
∴ω=

π

8

，∴f（x）=3sin（

π

8

x+φ），
∵圖象的一個對稱中心的橫坐標為-

4

3

，
∴

π

8

×（-

4

3

）+φ=kπ，∴φ=kπ+

π

6

，k∈Z
∵|φ|≤

π

2

，∴φ=

π

6

，∴f（x）=3sin（

π

8

x+

π

6

），
由

π

8

x+

π

6

=kπ+

π

2

可得x=8k+

8

3

，
∴f（x）的對稱軸的方程為x=8k+

8

3

，k∈Z；
（2）由（1）和函數圖象的變換可得g（x）=3sin（

1

2

x+

π

6

）-1，
又∵g（x）圖象上的所有點向右平移

π

3

個單位，得到函數h（x），
∴h（x）=3sin[

1

2

（x-

π

3

）+

π

6

]-1=3sin

1

2

x-1，
∵x∈[0，π]時，h（x）＞

α

1+sinx

恒成立，
∴α＜（3sin

1

2

x-1）

1+sinx

，對x∈[0，π]恒成立，
∵（3sin

1

2

x-1）

1+sinx

的最小值為-1，（x=0時）
∴實數α的取值范圍為（-∞，-1）．

點評：本題考查三角函數圖象的變換，涉及函數的恒成立，屬中檔題．