Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x，y）滿足約束條件：

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

．
（1）在給定的坐標(biāo)系中畫出滿足約束條件的可行域 （用陰影表示，并注明邊界的交點(diǎn)）；
（2）設(shè)u=

y+7

x+4

，求u的取值范圍；
（3）已知兩點(diǎn)M（2，1），O（0，0），求

OM

•

OP

的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)直線定出區(qū)域的邊界，不等式確定區(qū)域，由約束條件畫出可行域；
（2）u=

y+7

x+4

，利用u的幾何意義求最值，只需求出何時(shí)可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)（-4，-7）連線的斜率的最值，從而得到 u的取值范圍．
（3）先根據(jù)向量的數(shù)量積公式得出

OM

•

OP

=2x+y，設(shè)z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取到最大值，從而得到答案即可．

解答：解：（1）由

7x-5y-23=0 x+7y-11=0

得

x=4 y=1

，∴A（4，1）…（1分）
由

7x-5y-23=0 4x+y+10=0

得

x=-1 y=-6

，∴B（-1，-6）…（2分）
由

4x+y+10=0 x+7y-11=0

得

x=-3 y=2

，∴C（-3，2）…（3分）
畫出可行域N，如右下圖所示…（4分）

（2）u=

y-(-7)

x-(-4)

=kDP．…（5分）
當(dāng)直線DP與直線DB重合時(shí)，傾斜角最小且為銳角，此時(shí)kDB=

1

3

；   …（6分）
當(dāng)直線DP與直線DC重合時(shí)，傾斜角最大且為銳角，此時(shí)k_DC=9；  …..（7分）
所以u=

y+7

x+4

的取值范圍為[

1

3

，9]．…（8分）
（3）

OM

•

OP

=(2，1)•(x，y)=2x+y，…..（10分）
設(shè)z=2x+y，則y=-2x+z，…..…（11分）z表示直線y=-2x+z在y軸上的截距，…（12分）
當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取到最大值，…（13分）
這時(shí)z的最大值為z_max=2×4+1=9．…．（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．目標(biāo)函數(shù)有唯一最優(yōu)解是我們最常見的問題，這類問題一般要分三步：畫出可行域、求出關(guān)鍵點(diǎn)、定出最優(yōu)解．