Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{mx-1}{x}$．
（1）討論函數(shù)的奇偶性；
（2）求證函數(shù)f（x）時(shí)（0，+∞）增函數(shù)；
（3）若函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]（0＜a＜b），求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（4）若任意x∈（1，2]，不等式f（x）≥2x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（5）若存在x∈（1，2]，使不等式f（x）≥2x成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)m討論，m=0，m≠0，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義，即可得到結(jié)論；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可得證；
（3）運(yùn)用單調(diào)性，可得f（a）=2a，f（b）=2b，可得a，b為方程2x²-mx+1=0的兩個(gè)不等的正根，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，即可得到所求范圍；
（4）任意x∈（1，2]，不等式f（x）≥2x恒成立，即為m≥2x+$\frac{1}{x}$的最大值，由單調(diào)性可得最大值；
（5）存在x∈（1，2]，使不等式f（x）≥2x成立，即為即為m≥2x+$\frac{1}{x}$的最小值，運(yùn)用單調(diào)性即可得到所求范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{mx-1}{x}$=m-$\frac{1}{x}$（x≠0），
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=-$\frac{1}{x}$為奇函數(shù)；
當(dāng)m≠0時(shí)，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；
（2）證明：f（x）=$\frac{mx-1}{x}$=m-$\frac{1}{x}$（x＞0），
f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，即有f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)；
（3）由f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，可得
f（a）=2a，f（b）=2b，
即有m-$\frac{1}{a}$=2a，m-$\frac{1}$=2b，
即為a，b為方程2x²-mx+1=0的兩個(gè)不等的正根，
則△=m²-8＞0，$\frac{m}{2}$＞0，
解得m＞2$\sqrt{2}$；
（4）任意x∈（1，2]，不等式f（x）≥2x恒成立，
即為m≥2x+$\frac{1}{x}$的最大值，由2x+$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為2-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
可得（1，2]為增區(qū)間，即有最大值為4+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$，
則有m≥$\frac{9}{2}$；
（5）存在x∈（1，2]，使不等式f（x）≥2x成立，即為
即為m≥2x+$\frac{1}{x}$的最小值，由2x+$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為2-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
可得（1，2]為增區(qū)間，即有最小值為2+1=3，
則有m≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用，考查函數(shù)的值域的求法，注意運(yùn)用單調(diào)性解決，考查不等式恒成立和成立問(wèn)題的解法，屬于中檔題．