Question

20．如圖所示，梯形ABCD兩條對角線AC，BD的交點為O，AB=2CD，四邊形OBEF為矩形，M為線段AB上一點，AM=2MB．
（Ⅰ）求證：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）若EF⊥CF，求證AC⊥BD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過點O作ON∥AB，交AD于點N，連接MN，F(xiàn)N，證明：EM∥NF，即可證明EM∥平面ADF；
（Ⅱ）證明EF⊥平面ACF，EF⊥AC，即可證明AC⊥BD．

解答 （Ⅰ）證明：過點O作ON∥AB，交AD于點N，連接MN，F(xiàn)N，
∵ON∥AB，AB=2CD，
∴$\frac{ON}{AB}$=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
∵AM=2MB，
∴ON=BM，∴OBMN是平行四邊形，
∵四邊形OBEF為矩形，
∴EMNF是平行四邊形，
∴EM∥NF，
∵EM?平面ADF，NF?平面ADF，
∴EM∥平面ADF；
（Ⅱ）∵四邊形OBEF為矩形，
∴EF⊥OF，
∵EF⊥CF，OF∩CF=F，
∴EF⊥平面ACF，
∴EF⊥AC，
∵EF∥BD，∴AC⊥BD．

點評 本題考查線面平行的判定，考查線面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．