Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)a_n=2ⁿb_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為給出了數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²，所以可用n≥2時，an=sn-sn-1來求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的數(shù)列{a_n}的通項公式代入a_n=2ⁿb_n，求出數(shù)列{b_n}的通項公式，再利用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1，當(dāng)n＞1時，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1，當(dāng)n=1時a₁=S₁=1
∴a_n=2n-1．
（Ⅱ）由an=2nbn=2n-1，得bn=

2n-1

2n

，Tn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，①2Tn=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，②
②-①，得Tn=1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

．

點評：本題主要考查數(shù)列通項公式與前n項和之間的關(guān)系，以及錯位相減法求和．