Question

3．在正四面體ABCD中，E為棱BC的中點(diǎn)，過(guò)E作其外接球的截面，記S為最大的截面面積，T為最小的截面面積，則$\frac{S}{T}$=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，將四面體ABCD放置于如圖所示的正方體中，則正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球．因此利用題中數(shù)據(jù)算出外接球半徑R=$\sqrt{6}$，過(guò)E點(diǎn)的截面到球心的最大距離為$\sqrt{2}$，再利用球的截面圓性質(zhì)可算出截面面積的最小值、最大值，可得結(jié)論．

解答 解：將四面體ABCD放置于正方體中，如圖所示
可得正方體的外接球就是四面體ABCD的外接球，
設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為4，則正方體的棱長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$，
可得外接球半徑R滿足2R=2$\sqrt{2}$$•\sqrt{3}$，解得R=$\sqrt{6}$
E為棱BC的中點(diǎn)，過(guò)E作其外接球的截面，當(dāng)截面到球心O的距離最大時(shí)，
截面圓的面積達(dá)最小值，
此時(shí)球心O到截面的距離等于正方體棱長(zhǎng)的一半，
可得截面圓的半徑為r=2，得到截面圓的面積最小值為T(mén)=πr²=4π．
∵S=πR²=6π，∴$\frac{S}{T}$=$\frac{3}{2}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出正四面體的外接球，求截面圓的面積最小值、最大值．著重考查了正方體的性質(zhì)、球內(nèi)接多面體和球的截面圓性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．