Question

已知y=f（x）對任意實數(shù)x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．
（1）求f（0）的值；
（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）值，猜想f（n）表達式并用數(shù)學歸納法證明；
（3）若f(1)≥1，求證：f(

1

2n

)＞0．

Answer 1

（1）令x=y=0，則f（0）=0；
（2）f（2）=4，f（3）=9，f（4）=16，猜想f（n）=n²，
①當n=1時，顯然成立； 
②設n=k時成立，即f（k）=k²，則n=k+1時，f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=（k+1）²即=k+1時，成立
綜上知f（n）=n²，成立
（3）設f(1)=a(a≥1)，由f(1)=f(

1

2

+

1

2

)=2f(

1

2

)+2×

1

2

×

1

2

，得f(

1

2

)=

a

2

-

1

4

令x=y=(

1

2

)n+1，則f(

1

2n

)=f(

1

2n+1

+

1

2n+1

)=2f(

1

2n

)+2•

1

22n+2

變形為：f(

1

2n

)-

1

4n

=2[f(

1

2n+1

-

1

4n+1

]，因此數(shù)列{f(

1

2n

)-

1

4n

}是等比數(shù)列，
首項為f(

1

21

)-

1

4

=

a-1

2

，公比為2，∴f(

1

2n

)-

1

4n

=(

a-1

2

)•(

1

2

)n-1
∴f(

1

2n

)=(

a-1

2

)•(

1

2

)n-1+

1

4n

≥

1

4n

＞0