Question

已知圓A：x²＋y²＋4x＋2y－13＝0，若圓B平分圓A的周長且圓B的圓心在l：y＝3x上，求滿足上述條件的半徑最小的圓B的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：設(shè)圓心為(m，3m)，半徑為r，圓的方程為(x－m)2＋(y－3m)2＝r2，聯(lián)立方程求得相交弦為(4＋2m)x＋(2＋6m)y－10m2＋r2－13＝0，且過圓心(－2，－1)可得r2＝10m2＋10m＋23，m＝時(shí)，r2有最小值．此時(shí)圓的方程為(x＋)2＋(y＋)2＝．

提示：

圓B平分圓A的周長意味著兩圓的相交弦就是圓A的直徑．本題采用待定系數(shù)法，先設(shè)圓心為(m，3m)，半徑為r，從而得到圓B的標(biāo)準(zhǔn)式方程．與圓A聯(lián)立得到兩圓的相交弦方程，再利用其相交弦過圓A的圓心得到r2關(guān)于m的一元二次方程，然后用有關(guān)一元二次方程最值的結(jié)論求解問題．