Question

9．已知某公司生產一種儀器元件，年固定成本為20萬元，每生產1萬件儀器元件需另外投入8.1萬元，設該公司一年內共生產此種儀器元件x萬件并全部銷售完，每萬件的銷售收入為f（x）萬元，且
f（x）=$\left\{\begin{array}{l}32.4-\frac{1}{10}{x^2}（0＜x≤10）\\ \frac{324}{x}-\frac{1000}{x^2}（x＞10）\end{array}$
（Ⅰ）寫出年利潤y（萬元）關于年產品x（萬件）的函數解析式；
（Ⅱ）當年產量為多少萬件時，該公司生產此種儀器元件所獲年利潤最大？
（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過當0＜x≤10時，當x＞10時，寫出年利潤y（萬元）關于年產品x（萬件）的函數解析式；
（Ⅱ）①當0＜x≤10時，通過求解函數的導數求解函數的最值；②當x＞10時，利用基本不等式求解函數的最值．即可得到結果．

解答 解：（Ⅰ）當0＜x≤10時，$y=xf（x）-（20+8.1x）=24.3x-\frac{x^3}{10}-20$…（3分）
當x＞10時，$y=xf（x）-（20+8.1x）=304-\frac{1000}{x}-8.1x$…（5分）
所以$y=\left\{\begin{array}{l}24.3x-\frac{x^3}{10}-20，（0＜x≤10）\\＜br/＞304-\frac{1000}{x}-8.1x，（x＞10）＜br/＞\end{array}\right.$…6分
（Ⅱ）①當0＜x≤10時，由$y'=24.3-\frac{{3{x^2}}}{10}=0$，得x=9（負值舍去）．
當x∈（0，9）時，y'＞0；當x∈（9，10）時，y'＜0；
∴當x=9時，y取得極大值也是最大值，
${y_{max}}=24.3×9-\frac{1}{10}×{9^3}-20=125.8$…9分
②當x＞10
時，$y=304-（\frac{1000}{x}+8.1x）≤304-2\sqrt{\frac{1000}{x}×8.1x}=124$
 
當且僅當$\frac{1000}{x}=8.1x$，即$x=\frac{100}{9}$時，y_max=124．…11分
  綜合①、②知x=9時，y取最大值，
所以當年產量為9萬件時，該公司生產此種儀器獲利最大．…12分

點評 本題考查實際問題的解法，函數的導數在最值中的應用，基本不等式的應用，考查轉化思想以及計算能力．