Question

17．①若橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF₁|+|PF₂|＞10，則動(dòng)點(diǎn)P不一定在該橢圓外部；
②橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則b=c（c為半焦距）；
③雙曲線$\frac{x^2}{25}$-$\frac{y^2}{9}$=1與橢圓$\frac{x^2}{35}$+y²=1有相同的焦點(diǎn)；
④拋物線y²=4x上動(dòng)點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離的最小值為1．
其中真命題的序號(hào)為②③④．

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，可判斷①； 根據(jù)離心率，求出b，c關(guān)系，可判斷②；求出橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)，可判斷③；求出拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離，可判斷④

解答 解：①若橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF₁|+|PF₂|＞10，則動(dòng)點(diǎn)P一定在該橢圓外部，故錯(cuò)誤；
②橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則b=c=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a（c為半焦距），正確；
③雙曲線$\frac{x^2}{25}$-$\frac{y^2}{9}$=1與橢圓$\frac{x^2}{35}$+y²=1有相同的焦點(diǎn)（$±\sqrt{34}$，0），正確；
④拋物線y²=4x上動(dòng)點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離的最小值為$\left|\frac{p}{2}\right|$=1，正確．
故答案為：②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，圓錐曲線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．