Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=-1，a_n+1=2a_n+3．
（1）若b_n=a_n+3，證明{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若c_n=nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得，a_n+1+3=2（a_n+3），即b_n+1=2b_n可證
（2）由（1）結合等比數(shù)列的通項公式可求
（3）由c_n=nb_n=n•2ⁿ，利用錯位相減可求數(shù)列的和

解答：（1）證明：∵a₁=-1，a_n+1=2a_n+3
∴a_n+1+3=2（a_n+3），a₁+3=2
∴b_n+1=2b_n
∴數(shù)列{b_n}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列
（2）解：由（1）可得，b_n=an+3=2n
∴an=2n-3
（3）解：∵c_n=nb_n=n•2ⁿ
∴s_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ
2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴s_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構造等比數(shù)列求解數(shù)列的通項公式，錯位相減求數(shù)列的和的應用是求解的關鍵