Question

如下圖所示，兩射線OA與OB交于點O，下列5個向量中，
①2

OA

-

OB

  ②

3

4

OA

+

1

3

OB

 ③

1

2

OA

+

1

3

OB

 ④

3

4

OA

+

1

5

OB

  ⑤

3

4

OA

-

1

5

OB

若以O(shè)為起點，終點落在陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的向量有（　　）個．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)平面向量基本定理，可得到

ON

=t

OA

+（1-t）

OB

，由M在陰影區(qū)域內(nèi)可得實數(shù)r≥1使得

OM

=r

ON

，從而

OM

=rt

OA

+r（1-t）

OB

，根據(jù) rt+r（1-t）=r≥1，r（1-t）≥0，得出結(jié)論．

解答：解：設(shè)M在陰影區(qū)域內(nèi)，則射線OM與線段AB有公共點，記為N，
則存在實數(shù)t∈（0，1]使得

ON

=t

OA

+（1-t）

OB

，
且存在實數(shù)r≥1，使得

OM

=r

ON

，從而

OM

=rt

OA

+r（1-t）

OB

，且 rt+r（1-t）=r≥1．
又由于 0≤t≤1，故 r（1-t）≥0．
①中rt=2，r（1-t）=-1＜0，rt+r（1-t）=r=1，滿足r≥1但不滿足r（1-t）≥0，故①不滿足條件．
②中rt=

3

4

，r（1-t）=

1

3

，rt+r（1-t）=r=

13

12

，故②滿足條件．
③中rt=

1

2

，r（1-t）=

1

3

，rt+r（1-t）=r=

5

6

，不滿足r≥1，故③不滿足條件．
④中rt=

3

4

，（1-t）=

1

5

，rt+r（1-t）=r=

19

20

，不滿足r≥1，故④不滿足條件．
⑤中rt=

3

4

，r（1-t）=-

1

5

，rt+r（1-t）=r=

11

20

，不滿足r≥1，故⑤不滿足條件．
綜上，只有②滿足條件，
故選：A．

點評：本題主要考查平面向量基本定理，向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，得到

ON

=t

OA

+（1-t）

OB

，是解題的關(guān)鍵 屬于基礎(chǔ)題．