Question

已知函數(shù)f（x）=x³-mx²-x+1，其中m為實數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對一切的實數(shù)x，有f′（x）≥|x|-

7

4

成立，其中f′（x）為f（x）的導函數(shù)．求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=3x²-2mx-1，△=4m²+12＞0，知f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根：x1=

m- m2+3

3

，x2=

m+ m2+3

3

，由此能求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由對一切的實數(shù)x，有f′（x）≥|x|-

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4

成立，知3x²-2mx-1）≥|x|-

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4

，由此進行分類討論，能夠求出實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²-2mx-1，
△=4m²+12＞0，
∴f′（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根：x1=

m- m2+3

3

，x2=

m+ m2+3

3

，x₁＜x₂．
當x₁＜x＜x₂時，f′（x）＜0，即f（x）單調(diào)遞減；
當x＞x₂或x＜x₁時，f′（x）＞0，即f（x）單調(diào)遞增．
綜上所述，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[

m- m2+3

3

，

m+ m2+3

3

]；
單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，

m- m2+3

3

）、（

m+ m2+3

3

，+∞）．
（2）∵對一切的實數(shù)x，有f′（x）≥|x|-

7

4

成立，
∴3x²-2mx-1）≥|x|-

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4

，
①當x＞0時，3x2-(2m+1)x+

3

4

≥0，
即3x+

3

4x

≥2m+1在x＞0時恒成立，
因為3x+

3

4x

≥2

3x• 3 4x

=3，
當x=

1

2

時，等號成立，
所以3≥2m+1，即m≤1．
②當x＜0時，3|x|²+（2m-1）|x|+

3

4

≥0，
即3|x|+

3

4|x|

≥1-2m在x＜0時，恒成立，
∵3|x|+

3

4|x|

≥2

3|x|• 3 4|x|

=3，
當x=-

1

2

時等號成立．
所以3≥1-2m，即m≥-1．…（11分）
③當x=0時，m∈R．…（12分）
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是[-1，1]．…（13分）

點評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導數(shù)、不等式等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學思想方法，以及運算求解能力，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．