已知向量
a
=（sinx，
3
4
），
b
=（cosx，-1）．
（1）當
a
∥
b
時，求cos2x-sin2x的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=2（
a
+
b
）•
b
，求f（x）的值域．（其中x∈（0，
7π
24
））
分析：（1）由
a
∥
b
，利用向量平行的坐標表示可求tanxx，代入cos2x-sin2x=
cos2x-2sinxcosx
cos2x+sin2x
=
1-2tanx
1+tan2x
可求
（2）利用向量的數(shù)量積的坐標表示及輔助角公式對函數(shù)化簡可得f（x）=2（
a
+
b
）•
b
═
2
sin(2x+
π
4
)+
3
2
，結(jié)合已知x∈（0，
7π
24
）及正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的值域
解答：解：（1）∵
a
∥
b

∴
3
4
cosx+sinx=0
∴tanx=-
3
4

∴cos2x-sin2x=
cos2x-2sinxcosx
cos2x+sin2x
=
1-2tanx
1+tan2x
=
8
5

（2）∵f（x）=2（
a
+
b
）•
b
=2sinxcosx+2cos2x+
1
2

=sin2x+cos2x+
3
2

=
2
sin(2x+
π
4
)+
3
2

∵x∈（0，
7π
24
））
∴2x+
π
4
∈(
π
4
，
5π
6
)
∴sin(2x+
π
4
)∈(
1
2
，1]
∴f（x）∈（
3+
2
2
，
2
+
3
2
]
點評：本題主要考查了二倍角公式、輔助角公式及通角平方 關(guān)系等三角公式的綜合應(yīng)用在化簡三角函數(shù)中的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用是求解（2）的關(guān)鍵
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，-2），
b
=（cosθ，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ；
（2）當θ∈[-
π
12
，
π
3
]時，求f（θ）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|2的最值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，1），
b
=（1，-cosθ），θ∈（0，π）
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求θ；
（Ⅱ）若
a
•
b
=
1
5
，求tan(2θ+
π
4
)的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，cosθ），
b
=（2，1），滿足
a
∥
b
，其中θ∈(0，
π
2
)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，cosθ）與
b
=（
3
，1），其中θ∈（0，
π
2
）
（1）若
a
∥
b
，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(
a
+ 
b
)2，求f（θ）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（sinθ，
3
cosθ），
b
=（1，1）．
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若|
a
|=|
b
|，且0＜θ＜π，求角θ的大�。�

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