Question

設(shè)集合A={x|4^x-2^x+2+a=0，x∈R}．
（1）若A中僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值集合B；
（2）若對于任意a∈B，不等式x²-6x＜a（x-2）恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令2^x=t（t＞0），設(shè)f（t）=t²-4t+a，通過換元可知：由f（t）=0在（0，+∞）上僅有一根或兩相等實(shí)根，通過分類討論利用△及其根與系數(shù)的關(guān)系即可得出；
（2）要使原不等式對任意a∈（-∞，0]∪{4}恒成立，即g（a）=（x-2）a-（x²-6x）＞0恒成立．轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，利用其單調(diào)性只須

x-2≤0 g(4)＞0

解出即可．

解答：解：（1）令2^x=t（t＞0），設(shè)f（t）=t²-4t+a，由f（t）=0在（0，+∞）上僅有一根或兩相等實(shí)根，
①f（t）=0有兩等根時(shí)，△=0⇒16-4 a=0⇒a=4．
驗(yàn)證：t²-4t+4=0⇒t=2∈（0，+∞）這時(shí)x=1．
②f（t）=0有一正根和一負(fù)根時(shí)，f（0）＜0⇒a＜0．
③若f（0）=0，則a=0，此時(shí)4^x-4•2^x=0⇒2^x=0，（舍去），或2^x=4，∴x=2，此時(shí)A中只有一個(gè)元素．
∴實(shí)數(shù)a的取值集合為B={a|a≤0或a=4}．
（2）要使原不等式對任意a∈（-∞，0]∪{4}恒成立，即g（a）=（x-2）a-（x²-6x）＞0恒成立．
只須

x-2≤0 g(4)＞0

⇒

x≤2 x2-10x+8＜0

⇒5-

17

＜x≤2．

點(diǎn)評：熟練掌握換元法、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程的判別式△及根與系數(shù)的關(guān)系、一次函數(shù)的單調(diào)性等是解題的關(guān)鍵．