Question

【題目】隨著生活水平的提高和人們對健康生活的重視，越來越多的人加入到健身運動中.國家統(tǒng)計局數(shù)據顯示，2019年有4億國人經常參加體育鍛煉.某健身房從參與健身的會員中隨機抽取100人，對其每周參與健身的天數(shù)和2019年在該健身房所有消費金額（單位：元）進行統(tǒng)計，得到以下統(tǒng)計表及統(tǒng)計圖：

平均每周健身天數(shù)	不大于2	3或4	不少于5
人數(shù)（男）	20	35	9
人數(shù)（女）	10	20	6

若某人平均每周進行健身天數(shù)不少于5，則稱其為“健身達人”.該健身房規(guī)定消費金額不多于1600元的為普通會員，超過1600元但不超過3200元的為銀牌會員，超過3200元的為金牌會員.

（1）已知金牌會員都是健身達人，現(xiàn)從健身達人中隨機抽取2人，求他們均是金牌會員的概率；

（2）能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別和是否為“健身達人”有關系？

（3）該健身機構在2019年年底針對這100位消費者舉辦一次消費返利活動，現(xiàn)有以下兩種方案：

方案一：按分層抽樣從普通會員、銀牌會員和金牌會員中共抽取25位“幸運之星”，分別給予188元，288元，888元的幸運獎勵；

方案二：每位會員均可參加摸獎游戲，游戲規(guī)則如下：摸獎箱中裝有5張形狀大小完全一樣的卡片，其中3張印跑步機圖案、2張印動感單車圖案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一張，若摸到動感單車的總數(shù)為2，則獲得100元獎勵，若摸到動感單車的總數(shù)為3，則獲得200元獎勵，其他情況不給予獎勵.規(guī)定每個普通會員只能參加1次摸獎游戲，每個銀牌會員可參加2次摸獎游戲，每個金牌會員可參加3次摸獎游戲（每次摸獎結果相互獨立）.

請你比較該健身房采用哪一種方案時，在此次消費返利活動中的支出較少，并說明理由.

附：，其中為樣本容量.

	0.50	0.25	0.10	0.05	0.010	0.005
	0.455	1.323	2.706	3.841	6.636	7.879

Answer 1

【答案】(1)；(2) 不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別和是否為“健身達人”有關系;(3) 采用方案二時,在此次消費返利活動中的支出較少.

【解析】

(1)根據統(tǒng)計圖與統(tǒng)計表分別求得金牌會員與健身達人的人數(shù),再根據組合的方法求解從健身達人中隨機抽取2人,他們均是金牌會員的概率即可.

(2)根據圖表分別求得非健身達人與健身達人中男女的人數(shù),再計算分析即可.

(3)先求得普通會員、銀牌會員與金牌會員的人數(shù),再分別計算方案一和方案二中的支出.方案一計算分層抽樣的各層次人數(shù)計算總支出,方案二中先計算一次摸獎的獎勵數(shù)學期望,再分析所有的總獎勵數(shù)學期望,再比較方案一、二的支出即可.

(1)由題意得,健身達人共人,金牌會員人數(shù)有人.又金牌會員都是健身達人,故從健身達人中隨機抽取2人,他們均是金牌會員的概率為.

(2)由圖表可知,非健身達人男性有：人,健身達人男性有：人；

非健身達人女性有：人,健身達人女性有：人.

列出列聯(lián)表有：

	非健身達人	健身達人	總人數(shù)
人數(shù)（男）	55	9	64
人數(shù)（女）	30	6	36
總人數(shù)	85	15	100

故.

故不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別和是否為“健身達人”有關系.

(3)由圖,普通會員有人,銀牌會員有人,金牌會員有人.

方案一：抽取的普通會員、銀牌會員與金牌會員分別有,,人.故共支出元.

方案二：摸一次獎獲得獎勵的數(shù)學期望為.

故總支出的數(shù)學期望為.

故采用方案二時,在此次消費返利活動中的支出較少.