Question

已知向量

OA

=(2，0)，

OC

=

AB

=(0，1)，動點M到定直線y=1的距離等于d，并且滿足

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)，其中O是坐標(biāo)原點，k是參數(shù)．
（1）求動點M的軌跡方程，并判斷曲線類型；
（2）當(dāng)k=

1

2

時，求|

OM

+2

AM

|的最大值和最小值；
（3）如果動點M的軌跡是圓錐曲線，其離心率e滿足

3

3

≤e≤

2

2

，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）設(shè)M（x，y），由題設(shè)可得A（2，0），B（2，1），C（0，1）
∴

OM

=(x，y)，

AM

=(x-2，y)，

CM

=(x，y-1)，

BM

=(x-2，y-1)，d=|y-1|，
因

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)
∴（x，y）•（x-2，y）=
k[（x，y-1）•（x-2，y-1）-|y-1|²]
即（1-k）（x²-2x）+y²=0為所求軌跡方程．
當(dāng)k=1時，y=0，動點M的軌跡是一條直線；
當(dāng)k=0時，x²-2x+y²=0，動點M的軌跡是圓；
當(dāng)k≠1時，方程可化為(x-1)2+

y2

1-k

=1，當(dāng)k＞1時，動點M的軌跡是雙曲線；
當(dāng)0＜k＜1或k＜0時，動點M的軌跡是橢圓．
（2）當(dāng)k=

1

2

時，M的軌跡方程為(x-1)2+

y2

1 2

=1，．得：0≤x≤2，y²=

1

2

-

1

2

(x-1)2．
∵|

OM

+2

AM

|2=|(x，y)+2(x-2，y)|2=|(3x-4，3y)|2
=(3x-4)2+9y2=(3x-4)2+9[

1

2

-

1

2

(x-1)2]
=

9

2

(x-

5

3

)2+

7

2

．
∴當(dāng)x=

5

3

時，|

OM

+2

AM

|2取最小值

7

2

當(dāng)x=0時，|

OM

+2

AM

|2取最大值16．
因此，|

OM

+2

AM

|的最小值是

14

2

，最大值是4．
（3）由于

3

3

≤e≤

2

2

，即e＜1，此時圓錐曲線是橢圓，其方程可化為(x-1)2+

y2

1-k

=1，
①當(dāng)0＜k＜1時，a²=1，b²=1-k，c²=1-（1-k）=k，e2=

c2

a2

=k，∵

3

3

≤e≤

2

2

，∴

1

3

≤k≤

1

2

；
②當(dāng)k＜0時，a²=1-k，b²=1，c²=（1-k）-1=-k，e2=

c2

a2

=

-k

1-k

=

k

k-1

，∵

3

3

≤e≤

2

2

，∴

1

3

≤

k

k-1

≤

1

2

，而k＜0得，-1≤k≤-

1

2

．
綜上，k的取值范圍是[-1，-

1

2

]∪[

1

3

，

1

2

]．